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【广东成考】高起点复习资料数学(文)讲义2

随机事件及其概率

相互独立事件同时发生的概率乘法公式

总体、样本、样本平均数(又称样本均值)、样本方差



2020年广东成人高考文科数学集合考点

 集合是高中数学的基本知识,为历年必考内容之一,主要考查对集合基本概念的认识和理解,以及作为工具,考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点,不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.

 

  ●难点磁场

 

  (★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠ ,求实数m的取值范围.

 

  ●案例探究

 

  [例1]设A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C= ,证明此结论.

 

  命题意图:本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力,即能从集合符号上分辨出所考查的知识点,进而解决问题.属★★★★★级题目.

 

  知识依托:解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C= 转化为A∩C= 且B∩C= ,这样难度就降低了.

 

  错解分析:此题难点在于考生对符号的不理解,对题目所给出的条件不能认清其实质内涵,因而可能感觉无从下手.

 

  技巧与方法:由集合A与集合B中的方程联立构成方程组,用判别式对根的情况进行限制,可得到b、k的范围,又因b、k∈N,进而可得值.

 

  解:∵(A∪B)∩C= ,∴A∩C= 且B∩C= ∵ ∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0

 

  ∵A∩C= ∴Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0

 

  ∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是16b2-16>0,即b2>1 ①

 

  ∵ ∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0

 

  ∵B∩C= ,∴Δ2=(1-k)2-4(5-2b)<0

 

  ∴k2-2k+8b-19<0,从而8b<20,即b<2.5 ②

 

  由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组,得

 

  ∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C= .

 

  [例2]向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?

 

  命题意图:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.

 

  知识依托:解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来.

 

  错解分析:本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索.

 

  技巧与方法:画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系.

 

  解:赞成A的人数为50× =30,赞成B的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B.

 

  设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x.

 

  依题意(30-x)+(33-x)+x+( +1)=50,解得x=21.

 

  所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人.

 

  ●锦囊妙计

 

  1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.

 

  2.注意空集 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如A B,则有A= 或A≠ 两种可能,此时应分类讨论.

 

2020年广东成人高考《数学(文)》复习重点:充

     充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义,让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.

 

  ●难点磁场

 

  (★★★★★)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β,证明:|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件.

 

  ●案例探究

 

  [例1]已知p:|1- |≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若⌐p是⌐q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.

 

  命题意图:本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象,同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用,强调了知识点的灵活性.

 

  知识依托:本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化,使考生对充要条件的难理解变得简单明了.

 

  错解分析:对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点,对否命题,学生本身存在着语言理解上的困难.

 

  技巧与方法:利用等价命题先进行命题的等价转化,搞清晰命题中条件与结论的关系,再去解不等式,找解集间的包含关系,进而使问题解决.

 

  解:由题意知:

 

  命题:若⌐p是⌐q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:p是q的充分不必要条件.

 

  p:|1- |≤2 -2≤ -1≤2 -1≤ ≤3 -2≤x≤10

 

  q:x2-2x+1-m2≤0 [x-(1-m)][x-(1+m)]≤0 *

 

  ∵p是q的充分不必要条件,

 

  ∴不等式|1- |≤2的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)解集的子集.

 

  又∵m>0

 

  ∴不等式*的解集为1-m≤x≤1+m

 

  ∴ ,∴m≥9,

 

  ∴实数m的取值范围是[9,+∞ .

 

  [例2]已知数列{an}的前n项Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件.

 

  命题意图:本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.

 

  知识依托:以等比数列的判定为主线,使本题的闪光点在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系,严格利用定义去判定.

 

  错解分析:因为题目是求的充要条件,即有充分性和必要性两层含义,考生很容易忽视充分性的证明.

 

  技巧与方法:由an= 关系式去寻找an与an+1的比值,但同时要注意充分性的证明.

 

  解:a1=S1=p+q.

 

  当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1)

 

  ∵p≠0,p≠1,∴ =p

 

  若{an}为等比数列,则 =p

 

  ∴ =p,

 

  ∵p≠0,∴p-1=p+q,∴q=-1

 

  这是{an}为等比数列的必要条件.

 

  下面证明q=-1是{an}为等比数列的充分条件.

 

  当q=-1时,∴Sn=pn-1(p≠0,p≠1),a1=S1=p-1

 

  当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=pn-1(p-1)

 

  ∴an=(p-1)pn-1 (p≠0,p≠1)

 

  =p为常数

 

  ∴q=-1时,数列{an}为等比数列.即数列{an}是等比数列的充要条件为q=-1.

 

  ●锦囊妙计

 

  本难点所涉及的问题及解决方法主要有:

 

  (1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念:当“若p则q”形式的命题为真时,就记作p q,称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.

 

  (2)要理解“充要条件”的概念,对于符号“ ”要熟悉它的各种同义词语:“等价于”,“当且仅当”,“必须并且只需”,“……,反之也真”等.

 

  (3)数学概念的定义具有相称性,即数学概念的定义都可以看成是充要条件,既是概念的判断依据,又是概念所具有的性质.

 

  (4)从集合观点看,若A B,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;若A=B,则A、B互为充要条件.

 

  (5)证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).